Matrizen | Maths2Mind (2024)

Zahlen in Listenform

In der Algebra ist es oft zweckmäßig mit Zahlen in Listenform zu arbeiten. Wir fassen nachfolgen kurz die diesbezüglich wichtigsten Listenformen für Zahlen zusammen. Wir verwenden dabei folgende Sprachregelung:

  • Elemente: Mengen setzen sich aus Elementen zusammen.
  • Koeffizienten eines Gleichungssystems:Koeffizienten sind unveränderliche Zahlen, die als Faktor vor denVariablen einer Gleichung stehen
  • Komponenten einer Matrix: Matrizen setzen sich aus Komponenten zusammen. (Obwohlhier leider oft "Element" statt "Komponente" verwendet wird.) Die Komponenten aikder Matrix entsprechen den Koeffizienten aikim linearen Gleichungssystem
  • Index der Komponenten einer Matrix: Die Position jeder Komponente in der Matrize wird durch zwei Indizes i (=Zeile) und k (=Spalte) beschrieben.
  • Koeffizientenmatrix: Ein lineares Gleichungssystem in n Unbekannten und m Gleichungen lässt sich als Koeffizientenmatrix anschreiben.Die Komponenten aikder Matrix entsprechen den Koeffizienten aikim linearen Gleichungssystem
  • Gleichungsmatrix: Die Gleichungsmatrix erweitert die Koeffizientenmatrix um eine weitere Spalte nach rechts. In dieser Spalte werden die Konstanten gemäß der "rechten Seite" vom linearen Gleichungssystem geschrieben.

Menge

Eine Menge stellt die Zusammenfassung von mehreren Elementen zu einer Gesamtheit dar. Man verwendet geschwungene Klammern und separiert die einzelnen Elemente durch Beistriche. Die Reihenfolge in der die Elemente angeschrieben werden spielt keine Rolle. {1,2,3}={3,1,2}}={2,3,1}. Entscheidend ist, ob ein Element Teil der Menge ist oder ob nicht. Das mehrfaches Anschreiben von ein und demselben Element einer Menge ist daher nicht sinnvoll. {1,1,2,2,3,3}={1,2,3}

Zusammenhang: Tupel - Vektor - Matrix - Tensor

Tupel, Vektor, Matrix oder Tensor sind verschieden komplexe Schreibweisen für Objekte, die zu einer Liste, unter Berücksichtigung der Reihenfolge, zusammengefasst wurden.Dadurch unterscheiden sie sichvon einer Menge, bei denen es nicht auf die Reihenfolge der Elemente ankommt.

Tupel

Ein Tupel stellt die Zusammenfassung von mehreren Komponenten zu einer Liste dar. Man verwendet runde Klammern und separiert die einzelnen Komponenten durch Beistriche. Die Reihenfolge in der die Komponenten angeschrieben werden spielt eine wesentliche Rolle. (1,2,3)≠(3,2,1). Das mehrfaches Anschreiben von gleichlautenden Komponenten hat eine Bedeutung. (1,1,2,2,3,3)≠(1,2,3). Jede Komponente im Tupel hat ihren eindeutigen Platz.

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {...}\\ {{a_n}} \end{array}} \right)\)

  • Ein 2er Tupel wird auch geordnetes Paar genannt; z.B.: (x, f(x))
  • Ein 3er Tupel wird auch Trippel genannt; z.B.: (x1,y1,z1)
  • Ein 4er Tupel wird auch Quadrupel genannt; z.B.: (x1,y1,z1,t1)

Vektor

Vektoren sind eindimensionale Listen von Zahlen, wobei die Komponenten des Vektors in Form von Zeilen- und als Spaltenvektor angeschrieben werden können. Die Gesamtheit der Komponenten eines Vektors (der Klammerausdruck, der den Vektor repräsentiert) entsprechen daher einem Tupel. Die Anzahl der Komponenten eines Vektors stimmt mit der Dimension des Vektors überein. (x1,y1,z1) repräsentiert also einen 3-dimensionalen Vektor.Die Reihenfolge in der die Komponenten angeschrieben werden spielt eine wesentliche Rolle dabei, in welche Richtung der Vektor zeigt

\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {...}\\ {{a_n}} \end{array}} \right)\)

  • an: Die Werte an bezeichnet man als die Komponenten des Vektors.
  • n: Also die Anzahl der Komponenten eines Vektors, bezeichnet man als die Dimension des Vektors.

Aus der Geometrie sind uns

  • 2-dimeonsionale Vektoren (ebene Geometrie)
  • 3-dimensionele Vektoren (räumliche Geometrie) vertraut.

Aus der Physik, speziell der speziellen Relativitätstheorie, sind uns

  • 4-dimensionele Tupel vertraut.
  • Ihre ersten drei Dimensionen beschreiben den Raum,
  • ihre vierte Dimension beschreibt die Zeit.

Matrix

Matrizen sind zweidimensionale Listen von Zahlen. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist eine Matrix der m x n ten Ordnung.Die Komponente aik mit den Indizes ik steht in der i-ten Zeile und in der k-ten Spalte.Auch die Zeilen oder Spalten einer Matrix sind Tupel.

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)

Lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise

→ Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Unbekannten kann mit Hilfe einerKoeffizientenmatrixund zweier Spaltenvektoren angeschrieben werden.

\(\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}} \cdot {x_1}}& + &{{a_{12}} \cdot {x_2}}& + &{...}& + &{{a_{1n}} \cdot {x_n}}& = &{{b_1}}\\ {{a_{21}} \cdot {x_1}}& + &{{a_{22}} \cdot {x_2}}& + &{...}& + &{{a_{2n}} \cdot {x_n}}& = &{{b_2}}\\ {...}& + &{...}& + &{...}& + &{...}& = &{...}\\ {{a_{m1}} \cdot {x_1}}& + &{{a_{m2}} \cdot {x_2}}& + &{...}& + &{{a_{mn}} \cdot {x_n}}& = &{{b_m}} \end{array}\)

Koeffizientenmatrix

Die Koeffizientenmatrix besteht aus den Koeffizienten des linearen Gleichungssystems. Der 1. Spaltenvektor besteht aus den Komponenten von der Variablen x, während die rechte Seite der Gleichungen den 2. Spaltenvektor bildet.

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{12}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{_{m1}}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {...}\\ {{x_m}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {{b_2}}\\ {...}\\ {{b_m}} \end{array}} \right) \Leftrightarrow A \cdot \overrightarrow x = \overrightarrow b \)

Wenn die inverse Matrix A-1 existiert, dann kann man nach x wie folgt auflösen: \(\overrightarrow x = {A^{ - 1}} \cdot \overrightarrow b\)

Gleichungsmatrix

Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Unbekannten kann aber auch mit Hilfe einer sogenannten Gleichungsmatrix angeschrieben werden. Die Gleichungsmatrix erweitert die Koeffizeintenmatrix um eine zusätzliche, durch einen lotrechten Strich abgetrennteSpalte, in der die Konstanten bi der rechten Seite vom zugrunde liegenden linearen Gleichungssystem stehen

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}&{\left| {{b_1}} \right.}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}&{\left| {{b_2}} \right.}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}}&{\left| {{b_m}} \right.} \end{array}} \right)\)

Determinante

Determinanten sind Zahlen(werte) die man (ausschließlich) einer quadratischen Matrix zuordnen kann und die aus deren Komponenten berechnet werden.

Tensor

Ein Tensor ist ein mathematisches Objekt, welches Komponenten hat. Jede Tensorkomponente kann eine Funktion oder eine Zahl sein. Tensoren definieren sich über die Weise, in der ihre Komponenten transformieren.

  • Ein Skalar ist ein Tensor der 0. Stufe
  • Ein Vektor ist ein Tensor der 1. Stufe
  • Eine 3 x 3 Matrix ist ein Tensor der 2. Stufe, dieser besteht also aus 9 Komponenten. Die Komponenten eines Tensors 2. Stufe transformieren
    • kontravariant
    • kovariant
    • gemischt
  • Aus der Physik, speziell der allgemeinen Relativitätstheorie, sind uns mehrdimensionale Tupel vertraut.

Geht bei einer Koordinatentransformation die Komponente \({x^a}\) in \({x^{a'}}\)über gemäß

  • kontravariante \({T^{a'b'}} = \dfrac{{\partial {x^{a'}}}}{{\partial {x^a}}}\dfrac{{\partial {x^{b'}}}}{{\partial {x^b}}}{T^{ab}}\)

  • kovariante \({T_{a'b'}} = \dfrac{{\partial {x^a}}}{{\partial {x^{a'}}}}\dfrac{{\partial {x^b}}}{{\partial {x^{b'}}}}{T_{ab}}\)

  • gemischte \({T^{a'}}_{b'} = \dfrac{{\partial {x^{a'}}}}{{\partial {x^a}}}\dfrac{{\partial {x^b}}}{{\partial {x^{b'}}}}{T^a}_b\)

so ist T ein Tensor 2. Stufe.

Matrizen | Maths2Mind (2024)

FAQs

How to find infinite solutions of a matrix? ›

Hence, a matrix has an infinite solution if the number of variables is more than the number of nonzero rows in the reduced row-echelon form of the matrix.

What is the matrix formula? ›

A matrix equation (also called a matrix–vector equation) is an equation of the form Av = b, where A is an m-by-n matrix, called the coefficient matrix, v is an n-by-1 column vector, and b is an m-by-1 column vector.

How do you solve a matrix operation? ›

To add two matrices, we add the numbers of each matrix that are in the same element position. We can subtract matrices in a similar way to addition. Both matrices need to have the same dimensions, and we subtract the numbers of the second matrix from the first that are in the same element position.

How to find the value of a matrix? ›

Step 1: Choose any row or column. We usually choose the first row to find the determinant. Step 2: Find the co-factors of each of the elements of the row/column that we have chosen in Step 1. Step 4: Add all the products from Step 3 which would give the determinant of the matrix.

How to determine how many solutions a matrix has? ›

In order to identify the solution/s of a matrix system AX=B A X = B , you should find the rank of the augmented matrix A:B and that of the coefficient matrix A . If both ranks are equal, then the system possesses at least one solution.

How to tell if a matrix has no solution? ›

If any row of the reduced row-echelon form of the matrix gives a false statement such as 0 = 1, the system is inconsistent and has no solution. If the reduced row echelon form has fewer equations than the variables and the system is consistent, then the system has an infinite number of solutions.

What is the formula for no solution? ›

Condition for No Solution:

Considering the pair of linear equations by two variables u and v. Therefore a1, b1, c1, a2, b2, c2 are real numbers. If (a1/a2) = (b1/b2) ≠ (c1/c2), then this will result in no solution.

Are matrices harder than calculus? ›

Calculus is the hardest mathematics subject and only a small percentage of students reach Calculus in high school or anywhere else. Linear algebra is a part of abstract algebra in vector space. However, it is more concrete with matrices, hence less abstract and easier to understand.

What is a matrix for dummies? ›

A matrix is a rectangular array of numbers. Each row has the same number of elements, and each column has the same number of elements. Matrices can be classified as: square, identity, zero, column, and so on.

What type of math is matrices? ›

Matrix theory is the branch of mathematics that focuses on the study of matrices. It was initially a sub-branch of linear algebra, but soon grew to include subjects related to graph theory, algebra, combinatorics and statistics.

How do you solve a figure matrix question? ›

Figure Matrix

In order to find the missing figure in the incomplete set, the candidate must first analyze the complete sets to identify the common rule. Checking the student's capacity to access forms and symbols that are connected by a rule is a key component of non-verbal reasoning.

How do you solve a 3x3 matrix problem? ›

To evaluate the determinant of a 3 × 3 matrix we choose any row or column of the matrix - this will contain three elements. We then find three products by multiplying each element in the row or column we have chosen by its cofactor. Finally, we sum these three products to find the value of the determinant.

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Author: Jonah Leffler

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Name: Jonah Leffler

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Job: Mining Supervisor

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